专题三 中值定理

　　中值定理相关证明是考研数学中公认的重难点。以往这部分常考证明题这种大题。而近两年没考。去年的高数证明题考的函数不等式的证明，今年出乎意料地考了一个用导数定义证明求导公式的证明题。尽管近两年未考，但作为以前常考大题的考点，哪位同学又敢对这部分内容掉以轻心呢?好，这部分内容的重要性无需赘述，那我们应该如何去把握呢?

首先应该把这部分的定理内容弄清楚。习大大说："打铁还需自身硬!"我们要用这些定理去证明别的结论，先要自己把这些内容弄透、弄熟。具体而言，这部分涉及的定理有：费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、零点存在定理、介值定理、最值定理和积分中值定理。前四个定理属于微分中值定理，中间三个定理属于闭区间上连续函数的性质，最后一个为积分相关定理。值得一提的是，除了闭区间上连续函数的性质这几个定理外，其余定理要求会证明。

　　接下来，应总结真题中考过的此类题目的处理思路。这项工作可以自己完成，但须花费一定时间。跨考教育数学教研室的老师把近三十年的真题收集起来，总结出解题思路，在此分享给各位考生。

中值相关证明是从条件出发还是从结论出发呢?大部分情况下应从结论出发。看待证的式子是含一个中值还是两个中值。若含一个中值，接下来再看，是否含导数。若含一个中值并且含导数，则优先考虑罗尔定理，接下来的思路就是构造辅助函数以及找两个点的函数值相等(注意这两个点未必是区间的端点，也可能是区间内部的点)。若含一个中值并且不含导数，那考虑闭区间上连续函数的性质，那块有两个常用的定理等着咱们--零点定理和介值定理。选哪个定理呢?小方法来啦!看待证的中值是位于闭区间还是开区间，若是闭区间，则选介值定理，因为介值定理结论就是中值位于闭区间;反之则选零点定理，因为零点定理结论就是中值位于开区间。

好，一个中值的思路说完了，下面考虑两个中值的情况。请问，若待证式子含两个中值，这是用了几次定理的结果?两次!为什么?因为用一次定理得到的式子只含有一个中值，即便复杂如柯西中值定理也不例外。所以，要出现两个中值，一定是用两次定理的结果。当然，用两次定理，肯定得到两个式子，最终的一个式子含两个中值应为前面得到的两个式子合并后的结果。那么，用哪个定理?根据对真题的分析，两个中值的情况一般考虑拉格朗日或柯西定理。具体是用的哪个定理?对哪个函数用的?这可以通过观察待证的式子得到。

总之，此类问题的思路有点像犯罪现场调查：出现这种结果，是如何造成的?谁是有嫌疑的函数，该函数是通过何种作案工具(定理)造成这种结果的。如果有这种体会，那么我们在做题的同时，也过了一把当福尔摩斯那样的大侦探的瘾。

当然，弄熟基本定理，也弄透了上述处理真题的思路，是否能轻松搞定全部真题呢?未必。真题中有各种变形，有了大致思路，还需把各个细节想清楚：如确定考虑罗尔定理了，那辅助函数如何构造，函数值相等的两点如何找?如确定了用拉格朗日或柯西定理，那辅助函数如何构造，具体选哪个定理?这些细节需要结合真题一步步想通，多练习才能掌握。