微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。

两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。

如果商的极限为1，则分子分母为等价无穷小。极限为0 ，分子是较分母高阶的无穷小。极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。

为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小。

利用 Δy ~ d y （数学一，二用泰勒公式）生成等价无穷小 ——
  当 f ′（x0）≠ 0 时 ，Δy ~ d y ，在原点计算Δy和d y ，得到常用的4个等价无穷小
  sin x ~ x ； ln（1+x）~ x ；e xp（x）-1 ~ x  ；√（1+ x）-1 ~ x ∕ 2
  最好再记住    1-cos x ~ x ² ∕ 2     （e xp（x）记以e为底的指数函数）

等价无穷小的复合拓展 ——

x→0 时，α (x)是无穷小，则 sin α (x) ~α (x) ； ln（1+α (x)）~ α (x) ，……

  标准阶无穷小与无穷小的阶 ——

高等微积分中，把 x→0（或0+）时，幂函数  y = （x的µ次方） 称为µ 阶无穷小。与它同阶的无穷小，都是µ阶无穷小。于是，常用的1阶无穷小有， 
   x ， sin x  ， tg x  ， arcsin x  ， arctg x  ， e xp（x）-1

常用的2 阶无穷小有  1- cos x 
等价无穷小的差为高阶无穷小 ——
  值得记一记的有（常见的三阶无穷小）  x − sin x  ~  x ³  / 6  
x − lnx（1+ x）~  x² / 2    ，   exp（x）-（1 + x） ~ x²/2！ ，……
  不同阶的有限个无穷小的线性组合是无穷小。（“多项式型无穷小”。）它与其中最低阶的那个无穷小同阶。
比如            y = ln（1+x）+ 1-cos x  是1 阶无穷小
再复杂一点，     5x − sin x - cos x + 1 = 4x + （1- cos x ）+ （x − sin x ），是1阶无穷小

由于“等价无穷小的差”也可以说成是“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，所以，“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，其阶数都是未定式。

无穷小的积是高阶无穷小。    

无穷小（在区间背景下）也是有界变量。所以，“无穷小与有界变量的积”是无穷小，但阶数是未定式。
比如，   x→0 时， x² + 3x  与 x 同为1阶。实际上，x ² + 3x = x（x+3），后因子极限非0
  但 x sin（1/x）的阶数不能确定。
        在阶的意识下对0 / 0型未定式作结构分析与调整 ——

例1  x→∞， 求  lim x sin（2x/（x²+1））

分析   x→∞ 时，2x/（x²+1）是无穷小，sin（2x /（x²+1））~（2x /（x²+1），可替换。